Théorème (échange des limites) :
On se donne une suite de fonctions \(f_n:]a,b[\,\to{\Bbb R}\) (pour \(]a,b[\) un intervalle éventuellement non borné) qui converge au moins simplement sur \(]a,b[\) et telle que \(\displaystyle\lim_{x\to b^-}f_n(x)=\ell_n\)
Si :
- Chaque \(f_n:]a,b[\to{\Bbb R}\) a une limite quand \(x\to b^-\)
- La convergence est uniforme au moins sur un domaine \(]c,b[\,\subset\,]a,b[\)
Alors :
- \(\displaystyle\lim_{x\to b^-}f(x)\) existe
- \(\lim_n\ell_n\) existe
- On a la formule d'échange des limites :$$\lim_n\underbrace{\displaystyle\lim_{x\to b^-}f_n(x)}_{\ell_n}=\lim_{x\to b^-}\underbrace{\lim_n f_n(x)}_{f(x)}$$
Série de fonctions
Théorème d'échange de limites :
On se donne une série \(S=\sum^{+\infty}_{n=0}f_n\) de fonctions \(f_n:X\to{\Bbb R}\)
On suppose \(X\subset{\Bbb R}\) et on se donne \(x\in\,]a,b[\) (éventuellement \(b=+\infty\))
Si \(\ell_n=\displaystyle\lim_{x\to b^-}f_n(x)\) existe et si la convergence de \(S\) est uniforme au moins sur un domaine \(]c,b[\), alors :
- \(\sum\ell_n\) converge
- \(\displaystyle\lim_{x\to b^-}S(x)\) existe
- $$\lim_{x\to b^-}\underbrace{\left(\sum^{+\infty}_{n=0}f_n(x)\right)}_{S(x)}=\sum^{+\infty}_{n=0}\underbrace{\lim_{x\to b^-}f_n(x)}_{\ell_n}$$